miércoles, 12 de diciembre de 2012

Sistema de Ecuaciones Lineales


Ecuaciones lineales
Las ecuaciones lineales, son ecuaciones que no presentan ninguna curva al gratificar su función, solo están representadas por una linea recta.


Las ecuación es lineal se caracterizan por que no tienen productos o raíces de variables, ni variables que aparezcan en forma trigonométrica, exponenciales o logarítmicas.


Una ecuación lineal puede tener una infinidad de soluciones, y para poder encontrar estas soluciones tendremos que hacer lo siguiente.


Para determinar las soluciones de la ecuación mostrada primero tendremos que tomar a x2 y asignarle una variable t. Posteriormente despejaremos la ecuación con para dejar a la x1 en función de la nueva variable t.


Como se puede observar, el valor de x1, va a depender del valor que le demos a t (x2) y t puede tomar cualquier valor real. Por tal motivo, esta ecuación tiene una infinidad de soluciones.

Esto también sucede cuando se tiene una ecuación con mas de dos variables (x, y, z, etc), solo que en lugar de asignar un solo parámetro t, se asigna parámetros (t, s, w, etc.) para las demás variables.


Como se puede observar el valor de x va a depender de los valores de t (y) y s (z) los cuales pueden tomar cualquier valor real.


Sistemas de ecuaciones lineales
Los sistemas de ecuaciones lineales, son un conjunto de ecuaciones de tipo lineal (se juntan dos o mas). Cada ecuación del sistema de ecuaciones puede contar con una, dos o infinitas variables y el sistema puede tener dos o mas ecuaciones lineales.


Al igual que las ecuaciones lineales, para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales se tienen que encontrar los valores de las distintas variables que den solución a todas las ecuaciones del sistema. Los sistemas de ecuaciones lineales pueden tener una solución o una cantidad infinita de soluciones (consistentes) o pueden ser sistemas de ecuaciones lineales que no contengan solución (inconsistentes).

Para poder resolver un sistema de ecuaciones lineales, se pueden utilisar algunos metodos, los cuales son:
  • Sustitución hacia atrás
  • Eliminación de variables


Sustitución hacia atrás.

Este método se puede aplicar cuando el sistema de ecuaciones lineales, se encuentra en forma escalonada.


Para resolver este sistema de ecuaciones, solo se tiene que comenzar despejando a z de la ecuación 3.


Posteriormente se sustituye el valor de z en la ecuación 2 para obtener el valor de y.


Finalmente se sustituye el valor de z y de y en la ecuación 1 y obtenemos el valor de x.


De esta manera se determina los valores de las variables que dan solución al sistema de ecuaciones lineales.


Eliminación de Gaussiana

Este método consiste en reescribir mediante multiplicación y sumas, el sistema de ecuaciones lineales en forma escalonada.

Ejemplo 1
Encontrar las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales.


Lo primero que tenemos que hacer es determinar un cantidad que al multiplicarla por la ecuación 1 y sumarla a la ecuación 2 me de una nueva ecuación 2 sin la variable x. Para este caso se utilizara el -2.


Posteriormente eliminar la variable x de la ecuación 3 multiplicando a la ecuación 1 una cantidad que al sumarse con la ecuación 3 se elimine la variable x.


Ahora reescribimos el sistema de ecuaciones lineales con las nuevas ecuaciones 2 y 3.


Finalmente eliminaremos la variable y de la ecuación 3 utilizando la ecuación 2. Esto se hace multiplicando la ecuación 2 por una cantidad que permita que al sumar el resultado con la ecuación 3 nos elimina la variable y.


Finalmente se vuelve a reescribir el sistema de ecuaciones lineales con la nueva ecuación 3


Como se puede observar ya tenemos un sistema de ecuaciones lineal en forma escalonada, ya solo falta aplicar el método de sustitución asía atrás para determinar las cantidades de las variables.

Si el sistema de ecuaciones nos da algún resultados que no tienen sentido (0 = 3,  0 = 1, etc) esto nos esta diciendo que no hay soluciona para este sistema de ecuaciones. Y cuando nosotros podemos podemos paramentar a las variables (t, s, w, etc) y los valores pueden tomar cualquier cantidad, se dice que el sistema tiene infinitas soluciones.

Bueno, esto fue todo sobre 'Sistemas De Ecuaciones Lineales'' espero y sea de utilidad en sus estudios, ya saben, cualquier duda, sugerencia o aclaración estoy a su disposición.

Me despido y ''estudien'',  

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